Une équation du second degré - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2=-5+4i\) .

Conseil : poser \(z=x+iy\) et penser au changement de variable \(X=x^2\) au moment opportun.

Solution

Soit \(z \in \mathbb{C}\) , on pose \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) des réels.
Par unicité de la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, on a:
\(z^2 = -5+4i \iff x^2-y^2 + 2ixy = -5 + 4i \\ \iff\left\lbrace \begin{array}{l}x^2-y^2 = -5 \\2xy = 4\end{array} \right.\iff\left\lbrace \begin{array}{l}x^2- \dfrac{4}{x^2} +5 =0 \\y = \dfrac{2}{x}\end{array} \right. \\\iff\left\lbrace \begin{array}{l}x^2- \dfrac{4}{x^2} +5 =0 \\y = \dfrac{2}{x}\end{array} \right.\iff\left\lbrace \begin{array}{l}x^4 +5x^2 -4 =0 \\y = \dfrac{2}{x}\end{array} \right.\)

Or, \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff X^2+5X-4=0\) avec \(X=x^2\) .

\(X^2+5X-4=0 \iff X= \dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}\) ou \(X=\dfrac{-5 - \sqrt{41}}{2}\) .
Donc \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff x^2 = = \dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}\)
ou \(x^2=\frac{-5 - \sqrt{41}}{2}\iff x^2 = = \dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}\) car \(\dfrac{-5 - \sqrt{41}}{2} <0\) .

Donc, \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff x= \sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\) ou \(x= -\sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\)
car \(\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2} \geq 0\) .

Finalement, on posant \(x_1 = \sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\) et  \(x_2 = -\sqrt{\dfrac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\) , on a :

\(S= \left\lbrace x_1 + \dfrac{2}{x_1} i ; x_2 + \dfrac{2}{x_2} i \right\rbrace\)